física

INTERPRETACIÒN GRÀFICA DEL TRABAJO                                        

Al igual que sucede con otras magnitudes, el uso de gráficas para estudiar el trabajo nos puede ser de gran ayuda. En este apartado nos centraremos en estudiar las gráficas del trabajo realizado por fuerzas tanto constantes como variables, para cuerpos en movimiento rectilíneos. En estos casos nos resultará muy útil representar el valor del desplazamiento en el eje x y el de la fuerza en el eje y.

En una gráfica fuerza-desplazamiento, el trabajo es el área encerrada entre la curva del valor de la fuerza efectiva y el eje x.

La fuerza efectiva (en adelante simplemente fuerza) es la componente de la fuerza que tiene igual dirección que el movimiento. Podemos distinguir dos casos, cuando la fuerza es constante y cuando la fuerza es variable.

Trabajo Realizado por Fuerza Constante

En el caso de que la fuerza sea constante, el valor del trabajo coincide con el del área de un rectángulo, tal y como puede observarse en la figura.

Trabajo Realizado por Fuerza Variable

Para calcular el trabajo realizado por una fuerza variable, podemos proceder dividiendo el desplazamiento en pequeños tramos iguales, y suponer que la fuerza es "más o menos" constante en dichos tramos. Sumando el área de todos los tramos se obtiene, aproximadamente, el trabajo. Cuanto más estrechos sean los rectángulos considerados, mejor será la aproximación. En el límite, cuando el grosor de los rectángulos es infinitamente pequeño, la suma coincide con el área bajo la curva.

La herramienta matemática que nos permitirá realizar la suma del área de los rectángulos infinitamente pequeños es la integral, que estudiaremos en niveles más avanzados. De momento es suficiente con que observes como el proceso señalado de división permite el cálculo del área.

Ejemplo

Calcula el trabajo realizado entre los puntos x1 = 0 m , x2 = 4 m por una fuerza que, en el sentido del movimiento, sigue la expresión F=16−x2−−−−−−√N . Utiliza para ello la gráfica de la función y realiza las aproximaciones que consideres oportunas. Supon movimiento rectilíneo.

En primer lugar comenzamos haciendo un esbozo de la gráfica de la función.

El área bajo la curva coincide con el trabajo realizado por la fuerza. Vamos a aproximar el área limitada entre la curva y el eje x por la suma de las áreas de 4 rectángulos de 1 metro de base cada uno. A mayor número de rectángulos mejor será la aproximación pero para el propósito de nuestro ejercicio nos basta con 4.

Por otro lado, dado que la función es monótona decreciente en el intervalo estudiado, es decir, siempre está decreciendo, podemos hacer una aproximación por exceso y otra por defecto en el tramo completo. En la aproximación por exceso el trabajo obtenido será mayor que el trabajo real pues para obtener la altura de cada rectángulo utilizamos el extremo inferior del intervalo. En la aproximación por defecto el trabajo obtenido será menor que el trabajo real pues para obtener la altura de cada rectángulo utilizamos el extremo superior del intervalo.

La siguiente tabla  resume los cálculos realizados. 

(xinf - xsup)	Altura por exceso:  F(xinf)	Área por exceso	Altura por defecto:  F(xsup)	Área por defecto
(0 - 1)	F=16−02−−−−−−√=4	1 · 4 = 4	F=16−12−−−−−−√=15−−√=3.87	1 · 3.87 = 3.87
(1 - 2)	F=16−12−−−−−−√=15−−√=3.87	1 · 3.87 = 3.87	F=16−22−−−−−−√=12−−√=3.46	1 · 3.46 = 3.46
(2 - 3)	F=16−22−−−−−−√=12−−√=3.46	1 · 3.46 = 3.46	F=16−32−−−−−−√=7–√=2.64	1 · 2.64 = 2.64
(3 - 4)	F=16−32−−−−−−√=7–√=2.64	1 · 2.64 = 2.64	F=16−42−−−−−−√=0	1 · 0 = 0

Finalmente calculamos el trabajo en cada caso sumando las areas correspondientes:

Trabajo por exceso                                                     

Wexceso = 4 + 3.87 + 3.46 + 2.64 = 14.15 J

Trabajo por defecto

Wdefecto = 3.87 + 3.46 + 2.64 + 0 = 10.15 J

Podemos afirmar que el trabajo real se encontrará entre los valores: 10.15 < Wreal < 14.15