ACELERACIÒN TANGENCIAL                                           

La aceleración tangencial es el producto de la aceleración angular y el radio del círculo. Es decir, la aceleración tangencial en el instante ( t₀) es: La aceleración tangencial es un vector que está sobre la tangente del punto de la circunferencia y cuyo sentido es igual al de giro.

Vemos que el primer término (dv→dtu→t  ) es tangencial a la trayectoria por estar multiplicando el vector unitario u→t  . A dicho término se le conoce con el nombre de aceleración tangencial y coincide con el concepto cotidiano de aceleración, que es el del cambio del módulo de la velocidad. 

El valor de la aceleración tangencial puede ser:

• Mayor que cero (> 0): Cuando el cuerpo tiene un movimiento acelerado, es decir, el módulo del vector velocidad aumenta con el tiempo
• Menor que cero (<0): Cuando el cuerpo tiene un movimiento retardado o decelerado, es decir, el módulo del vector velocidad disminuye con el tiempo
• Igual a cero (= 0): Cuando el cuerpo tiene un movimiento uniforme, es decir, el módulo del vector velocidad permanece constante

La aceleración tangencial es el producto de la aceleración angular y el radio del círculo. Es decir, la aceleración tangencial en el instante (t0) es:

La aceleración tangencial es un vector que está sobre la tangente del punto de la circunferencia y cuyo sentido es igual al de giro.

La aceleración tangencial y la aceleración centrípeta son las componentes intrínsecas de la aceleración.

Aceleración tangencial en el movimiento circular uniforme (MCU)              

En el movimiento circular uniforme (MCU), tanto la aceleración angular como la aceleración tangencial son cero, ya que las velocidades son constantes.

Aceleración tangencial en el movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)

La aceleración tangencial en el movimiento circular uniformemente acelerado MCUA se calcula como el incremento de velocidad angular ω desde el instante inicial hasta el final partido por el tiempo y multiplicado por el radio.

La aceleración tangencial, at es mayor que cero cuando la velocidad angular w (o, lo que es lo mismo, la velocidad angular vt) se incrementa con el tiempo.

La aceleración tangencial, at es menor que cero cuando la velocidad angular w (o, lo que es lo mismo, la velocidad angular vt) disminuye con el tiempo

ACELERACIÒN NORMAL O CENTRÌPETA

Aceleración centrípeta. En un movimiento circular cualquiera, la aceleración puede tener una componente en dirección tangencial a la circunferencia y otra componente en dirección radial y dirigida hacia el centro de la trayectoria. A la primera se le llama aceleración tangencial y a la segunda, aceleración centrípeta.
La aceleración normal puede ser:

• =0: En los movimientos rectilíneos, donde la dirección permanece constante
• >0: En los movimientos curvilíneos, donde la velocidad cambia continuamente de dirección

Observa que cualquier trayectoria que describa un cuerpo se puede considerar como una composición de trayectorias rectas y curvas. Las partes curvas de la trayectoria pueden a su vez considerarse arcos de circunferencia. La siguiente imagen ilustra este concepto.

Demostración de la aceleración normal

Con anterioridad hemos visto que la aceleración instantánea es la derivada de la velocidad respecto al tiempo. Por otro lado, hemos visto que podemos expresar el vector velocidad como el producto de su módulo por un vector unitario tangente a la trayectoria: v→=v⋅u→t  . Si desarrollamos estas dos ideas nos queda:

a→=dv→dt=d(v⋅u→t)dt=D(a⋅b)dvdtu→t+vdu→tdt

En un movimiento circular uniforme, debido a que el módulo de la velocidad tangencial es constante, solo existe una aceleración que cambia la dirección y el sentido de la velocidad, es decir, la aceleración centrípeta.

El cambio del vector velocidad tangencial apunta hacia el centro de curvatura, al igual que la aceleración centrípeta  ac.

Si se considera el cambio de velocidad, ∆v = v f − vi , que experimenta un móvil en un pequeño intervalo de tiempo ∆t  , se ve que ∆v es radial y está dirigido hacia el centro curvatura. La aceleración, por lo tanto, también tiene esa dirección y sentido, y por eso se denomina aceleración centrípeta.

Si consideramos un intervalo de tiempo muy pequeñísimo y considerando las relaciones geométricas de la figura anterior tenemos:

Como hemos aprendido, la aceleración es una consecuencia de la aplicación de una fuerza neta sobre el cuerpo, por lo que la aceleración centrípeta tendrá la misma dirección y sentido que la fuerza centrípeta, bastará sólo con multiplicar la masa del cuerpo en cuestión por la aceleración.

F=ma

Fuerza centrífuga y centrípeta

Primero que todo no debe comfundirse con la aceleración centrífuga. La aceleración centrífuga es aquella que adquieren los cuerpos por causa del "efecto fuerza centrifuga". Antes que nada cabe aclarar que la fuerza centrífuga es una fuerza de inercia. Como toda fuerza de inercia resulta de describir el movimiento de una partícula o sistema de partículas desde un sistema de referencia no inercial. La fuerza centrífuga (F) no es una fuerza propiamente tal, sino que es producida por la inercia de los cuerpos al moverse en torno a un eje, pues estos tienden a seguir una trayectoria tangencial a la curva que describen. (Tomado de Wikipedia) 

Fuerza Centrípeta                                                        Fuerza Centrípeta

                                                

Como podemos observar la diferencia radica en la dirección que tienen ambas fuerzas y el sistema de referencia que se use. Si tomamos el centro de giro como sistema de referencia, tendremos que preguntarnos "quién o que sumoatoria de fuerza hace las veces de fuerza centrípeta" y si tomamos como sistema de referencia el cuerpo que está girando (sistema no inercial), nos preguntamos "qué sumatoria de fuerza equilibra la fuerza centrífuga que empuja hacia afuera".

Componente tangencial y normal de la aceleración

Ejemplo

El vector velocidad del movimiento de una partícula viene dado por v=(3t-2)i+(6t2-5)j m/s. Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t=2 s. Dibujar el vector velocidad, el vector aceleración y las componentes tangencial y normal en dicho instante.

Encontramos las componentes de la velocidad, derivamos cada una y obtenemos las componentes de la aceleración:

COMPONENTES INTRÌNSECOS DE LA ACELERACIÒN              

Se definen las componentes intrínsecas de la aceleración como la descomposición del vector aceleración en los ejes intrínsecos. A la componente que se proyecta sobre el eje tangente se le llama componente tangencial y es la responsable del cambio del módulo de la velocidad.
Como puedes observar en la siguiente figura, dado que los ejes son perpendiculares entre sí, el módulo de la aceleración puede calcularse como

∣∣a→∣∣=a2t+a2n−−−−−−√

Es importante que te des cuenta que, independientemente de si el movimiento se está realizando en dos o en tres dimensiones, el módulo del vector aceleración descrito en función de sus componentes intrínsecas tiene dos variables a lo sumo: la de la aceleración tangencial que se corresponde al eje tangente y la de la aceleración normal correspondiente al eje normal .
Hemos dicho que el vector velocidad puede cambiar en módulo o en dirección. Por tanto aparecen claramente dos efectos de la aceleración:

• La variación del módulo de la velocidad
• La variación de la dirección de la velocidad

En apartados anteriores hemos definido la aceleración como el cambio del vector velocidad con el tiempo. Hemos dicho que el vector velocidad puede cambiar en módulo o en dirección. Por tanto aparecen claramente dos efectos de la aceleración:

La variación del módulo de la velocidad

La variación de la dirección de la velocidad

Para poder estudiar claramente estos efectos, utilizamos un sistema de referencia intrínseco en cada punto de la trayectoria, tal y como se puede ver en la figura.

Se define el sistema de referencia propio o intrínseco para cada punto de la trayectoria como un sistema de coordenadas formado por dos ejes:

Eje tangente: Su dirección es tangente a la trayectoria y el sentido positivo será el de la velocidad en ese punto. Se define por el vector unitario u→t

Eje normal: Su dirección es perpendicular a la trayectoria y el sentido positivo será el que se dirige al centro de curvatura de la trayectoria. Se define por el vector unitario u→n

Este sistema de referencia es el que se usa para "observar" los cambios del vector velocidad en módulo y dirección.

Se definen las componentes intrínsecas de la aceleración como la descomposición del vector aceleración en los ejes intrínsecos.

A la componente que se proyecta sobre el eje tangente se le llama componente tangencial y es la responsable del cambio del módulo de la velocidad.

A la que se proyecta sobre el eje normal se le llama componente normal o componente centrípeta y es la responsable de la dirección de la velocidad.

Se puede expresar la aceleración en función de sus componentes en la forma:

a→=a→t+a→n=atu→t+anu→n

Donde:

a→ : Es el vector aceleración en un punto determinado

a→t  , a→n  , at  , an  : Son los vectores aceleración tangencial y normal y sus respectivos módulos

u→t , u→n  : Son los vectores unitarios en las direcciones del eje tangente y del eje normal respectivamente

Como puedes observar en la siguiente figura, dado que los ejes son perpendiculares entre sí, el módulo de la aceleración puede calcularse como

∣∣a→∣∣=a2t+a2n−−−−−−√

Es importante que te des cuenta que, independientemente de si el movimiento se está realizando en dos o en tres dimensiones, el módulo del vector aceleración descrito en función de sus componentes intrínsecas tiene dos variables a lo sumo: la de la aceleración tangencial que se corresponde al eje tangente y la de la aceleración normal correspondiente al eje normal .

ACELERACIÒN INSTANTÀNEA                                 

Aceleración Instantánea. En Física decimos que un cuerpo tiene aceleración cuando se produce un cambio del vector velocidad, ya sea en módulo o dirección. Así lo hemos visto en el apartado dedicado al concepto de aceleración.En este apartado vamos a estudiar la aceleración instantánea, que representa la variación de velocidad que está teniendo lugar en un instante concreto.
La aceleración instantánea de un cuerpo es la que tiene el cuerpo en un instante específico, en un punto determinado de su trayectoria. Para definir el concepto de aceleración instantánea con precisión podemos partir de la aceleración media en un intervalo y hacer este infinitamente pequeño (Δt→0  ). Este proceso es análogo al que seguíamos con la velocidad media para calcular la velocidad instantánea.

La aceleración es una magnitud vectorial. La ecuación de dimensiones de la aceleración instantánea es [a] = [L][T]^-2 y por tanto su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.)  es el metro por segundo al cuadrado [m/s²].
Podrás encontrar el vector aceleración escrito mediante sus componentes cartesianas quedando:

• vector aceleración  en 3 dimensiones coordenadas cartesianas:
  
  a→=axi→+ayj→+azj→=(limΔt→0ΔvxΔt)i→+(limΔt→0ΔvyΔt)j→+(limΔt→0ΔvzΔt)j→=dvxdti→+dvydtj→+dvxdtj→
• vector aceleración en 2 dimensiones coordenadas cartesianas:
  
  a→=axi→+ayj→=(limΔt→0ΔvxΔt)i→+(limΔt→0ΔvyΔt)j→=dvxdti→+dvydtj→

Como puedes observar, la aceleración instantánea es una magnitud vectorial que cumple:

• Su módulo se puede expresar:
  • Mediante coordenadas cartesianas en 3 dimensiones:
    
    
    

    ∣∣a→∣∣=a2x+a2y+a2z−−−−−−−−−−√
  • Mediante coordenadas cartesianas en 2 dimensiones:
    
    
    

    ∣∣a→∣∣=a2x+a2y−−−−−−√
• Su dirección y sentido, en general, no coincide con la del vector velocidad sino que dependen del cambio que experimente esta.

La aceleración instantánea de un cuerpo es la que tiene el cuerpo en un instante específico, en un punto determinado de su trayectoria. Para definir el concepto de aceleración instantánea con precisión podemos partir de la aceleración media en un intervalo y hacer este infinitamente pequeño (Δt→0 ). Este proceso es análogo al que seguíamos con la velocidad media para calcular la velocidad instantánea.

Se define la aceleración instantánea, o simplemente aceleración, como el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo considerado tiende a 0. También se define de manera equivalente como la derivada de la velocidad respecto al tiempo. Su expresión viene dada por:

a→=limΔt→0a→m=limΔt→0Δv→Δ t=dv→dt

donde:

a→ : Es la aceleración del cuerpo

a→m : Vector aceleración media 

Δv→ : Vector variación de la velocidad

Δ t : Intervalo de tiempo que tiende a 0, es decir, un intervalo infinitamente pequeño

La aceleración es una magnitud vectorial. La ecuación de dimensiones de la aceleración instantánea es [a] = [L][T]-2 y por tanto su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.)  es el metro por segundo al cuadrado [m/s2].

Podrás encontrar el vector aceleración escrito mediante sus componentes cartesianas quedando:

vector aceleración  en 3 dimensiones coordenadas cartesianas:

a→=axi→+ayj→+azj→=(limΔt→0ΔvxΔt)i→+(limΔt→0ΔvyΔt)j→+(limΔt→0ΔvzΔt)j→=dvxdti→+dvydtj→+dvxdtj→

vector aceleración en 2 dimensiones coordenadas cartesianas:

a→=axi→+ayj→=(limΔt→0ΔvxΔt)i→+(limΔt→0ΔvyΔt)j→=dvxdti→+dvydtj→

Como puedes observar, la aceleración instantánea es una magnitud vectorial que cumple:

Su módulo se puede expresar:

Mediante coordenadas cartesianas en 3 dimensiones:

∣∣a→∣∣=a2x+a2y+a2z−−−−−−−−−−√

Mediante coordenadas cartesianas en 2 dimensiones:

∣∣a→∣∣=a2x+a2y−−−−−−√

Su dirección y sentido, en general, no coincide con la del vector velocidad sino que dependen del cambio que experimente esta.

No confundas las componentes cartesianas de la aceleración con las componentes intrínsecas, que estudiaremos en apartados posteriores. Las componentes cartesianas son, simplemente, la descomposición del vector aceleración en los ejes cartesianos. Las componentes intrínsecas son la descomposición del vector aceleración en el sistema de referencia propio o intrínseco del movimiento, como estudiarás en el apartado dedicado a ello.

Por último indicarte que, al igual que cualquier otro vector, es posible que en ocasiones encuentres el vector aceleración escrito en función de su módulo. Para ello basta multiplicar el módulo del vector aceleración por un vector unitario con la misma dirección y sentido que a→  y que llamaremos u→a  por ser el vector unitario que contiene la dirección del vector aceleración.

a→=a⋅u→a