física

FUERZAS ELÀSTICAS : LEY DE HOOKE

En fìsica, la ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke, originalmente formulada para casos de estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario que experimenta un material elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada sobre el mismo ${\displaystyle F}$:

${\displaystyle \epsilon ={\frac {\Delta L}{L}}={\frac {F}{AE}}}$

siendo ${\displaystyle \Delta L}$ el alargamiento, ${\displaystyle L}$ la longitud original, ${\displaystyle E}$: módulo de Young, ${\displaystyle A}$ la sección transversal de la pieza estirada. La ley se aplica a materiales elásticos hasta un límite denominado límite elástico.

Esta ley recibe su nombre del físico inglés Robert Hooke, contemporáneo de Isaac Newton, y contribuyente prolífico de la arquitectura. Esta ley comprende numerosas disciplinas, siendo utilizada en ingeniería y construcción, así como en la ciencia de los materiales. Ante el temor de que alguien se apoderara de su descubrimiento, Hooke lo publicó en forma de un famoso anagrama, ceiiinosssttuv, revelando su contenido un par de años más tarde. El anagrama significa Ut tensio sic vis ("como la extensión, así la fuerza").

LEY DE HOOKE PARA LOS RESORTES

La ley de Hooke describe cuánto se alarga un resorte bajo una cierta fuerza.

La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuación del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza ${\displaystyle F}$ ejercida por el resorte con la elongación o alargamiento ${\displaystyle \delta }$ provocado por la fuerza externa aplicada al extremo del mismo:

${\displaystyle F=-k\delta \,}$

donde ${\displaystyle k}$ se llama constante elástica del resorte y ${\displaystyle \delta }$ es su elongación o variación que experimenta su longitud.

La energía de deformación o energía potencial elástica ${\displaystyle U_{k}}$ asociada al estiramiento del resorte viene dada por la siguiente ecuación:

${\displaystyle U_{k}={\frac {1}{2}}k{\delta }^{2}}$

Es importante notar que la ${\displaystyle k}$ antes definida depende de la longitud del muelle y de su constitución. Definiremos ahora una constante intrínseca del resorte independiente de la longitud de este y estableceremos así la ley diferencial constitutiva de un muelle. Multiplicando ${\displaystyle k}$ por la longitud total, y llamando al producto ${\displaystyle k_{i}}$ o ${\displaystyle k}$ intrínseca, se tiene:

${\displaystyle k={\frac {k_{i}}{L}}}$

Llamaremos ${\displaystyle F(x)}$ a la tensión en una sección del muelle situada una distancia x de uno de sus extremos el cual tomaremos como origen de coordenadas, ${\displaystyle k_{\Delta x}}$ a la constante de un pequeño trozo de muelle de longitud ${\displaystyle \Delta x}$ a la misma distancia y ${\displaystyle \delta _{\Delta x}}$ al alargamiento de ese pequeño trozo en virtud de la aplicación de la fuerza ${\displaystyle F(x)}$. Por la ley del muelle completo:

${\displaystyle F(x)=-k_{\Delta x}\delta _{\Delta x}=-k_{i}{\frac {\delta _{\Delta x}}{\Delta x}}}$

Tomando el límite:

${\displaystyle F(x)=-k_{i}{\frac {{\delta }_{dx}}{dx}}}$

que por el principio de superposición resulta:

${\displaystyle F\left(x\right)=-k_{i}{\frac {d{\delta }}{dx}}=-AE{\frac {d\delta }{dx}}}$

Teniendo en cuenta esta Ley de Hooke del muelle y además, la masa del objeto que oscila, y su aceleración, se obtiene como solución el movimiento del oscilador armónico simple (Ver también: Muelle elástico / Resorte). La frecuencia angular de la oscilación se calcula como:

${\displaystyle {\omega }={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$ siendo m la masa del oscilador

En los medios elásticos también se pueden propagar ondas como consecuencia de la vibración del medio. En la ecuación de ondas de las ondas elásticas interviene además de la variable espacial ${\displaystyle x}$ (en el caso de una dimensión), el tiempo. Esto es debido a que una onda tiene la doble dependencia espacial y temporal a la vez (Ver también: Muelle elástico / Resorte).

Caso unidimensional

En el caso de un problema unidimensional donde las deformaciones o tensiones en direcciones perpendiculares a una dirección dada son irrelevantes o se pueden ignorar ${\displaystyle \sigma =\sigma _{11}}$, ${\displaystyle \epsilon =\epsilon _{11}}$, ${\displaystyle C_{11}=E}$ y la ecuación anterior se reduce a:

${\displaystyle \sigma =E\epsilon \,}$

donde ${\displaystyle E}$ es el módulo de Young.

Caso tridimensional isótropo

Para caracterizar el comportamiento de un sólido elástico lineal e isótropo se requieren además del módulo de Young otra constante elástica, llamada coeficiente de Poisson (${\displaystyle \nu }$). Por otro lado, las ecuaciones de Lamé-Hooke para un sólido elástico lineal e isótropo pueden ser deducidas del teorema de Rivlin-Ericksen, que pueden escribirse en la forma:

${\displaystyle \epsilon _{xx}={\frac {1}{E}}\left(\sigma _{xx}-\nu (\sigma _{yy}+\sigma _{zz})\right)\qquad \epsilon _{xy}={\frac {(1+\nu )}{E}}\sigma _{xy}}$

${\displaystyle \epsilon _{yy}={\frac {1}{E}}\left(\sigma _{yy}-\nu (\sigma _{xx}+\sigma _{zz})\right)\qquad \epsilon _{yz}={\frac {(1+\nu )}{E}}\sigma _{yz}}$

${\displaystyle \epsilon _{zz}={\frac {1}{E}}\left(\sigma _{zz}-\nu (\sigma _{xx}+\sigma _{yy})\right)\qquad \epsilon _{xz}={\frac {(1+\nu )}{E}}\sigma _{xz}}$

En forma matricial, en términos del módulo de Young y el coeficiente de Poisson como:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\\\varepsilon _{xy}\\\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yz}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&&&\\-{\frac {\nu }{E}}&{\frac {1}{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&&&\\-{\frac {\nu }{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&{\frac {1}{E}}\\&&&{\frac {(1+\nu )}{E}}&0&0\\&&&0&{\frac {(1+\nu )}{E}}&0\\&&&0&0&{\frac {(1+\nu )}{E}}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{xy}\\\sigma _{xz}\\\sigma _{yz}\end{pmatrix}}}$

Las relaciones inversas vienen dadas por:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{xy}\\\sigma _{xz}\\\sigma _{yz}\end{pmatrix}}={\frac {E}{1+\nu }}{\begin{pmatrix}{\frac {1-\nu }{1-2\nu }}&{\frac {\nu }{1-2\nu }}&{\frac {\nu }{1-2\nu }}&&&\\{\frac {\nu }{1-2\nu }}&{\frac {1-\nu }{1-2\nu }}&{\frac {\nu }{1-2\nu }}&&&\\{\frac {\nu }{1-2\nu }}&{\frac {\nu }{1-2\nu }}&{\frac {1-\nu }{1-2\nu }}&&&\\&&&1&0&0\\&&&0&1&0\\&&&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\\\varepsilon _{xy}\\\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yz}\end{pmatrix}}}$